概论基本概念

一、基本概念

1. 随机试验

• 定义
  • 对随机现象的实现或对其观察称为随机试验(E)
• 特点：
  1. 相同条件可重复
  2. 试验结果明确可知，一般不止一个
  3. 试验前无法确定哪个结果出现

名词

1. 确定性现象
   • 结果呈现确定性的现象
2. 随机现象
   • 在个别试验中呈现不确定性，
   • 在大量重复实验中表现出统计规律性的现象。

2. 样本空间

1. 定义
   • 将E的所有可能结果组成的集合称为样本空间
   • 表示符号有两种：S，$\Omega$，浙大版以 S 为准
2. 样本点
   1. S中的元素即为样本点

随机事件

1. 定义
   • 称E的样本空间(S)的子集为E的随机事件
2. 事件发生
   • 在一次试验中，该子集的一个样本点出现时，称~
3. 基本事件
   • 由一个样本点组成的单点集
   • 例如：投色子，{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} 即为基本事件
4. 必然事件 S本身
5. 不可能时间：$\emptyset$

事件间的关系及运算

1. 包含事件
   • $A\subset B$：包含关系。
   • $A包含于B：A发生 \rightarrow B发生$
   • 注：若$A\subset B 且 B\subset A，则A=B$
2. 和事件(并事件)
   • 并：合并 （并且）
   • A与B至少发生一个，记作$A \cup B\ 或\ A + B$
3. 积事件(交事件)
   • A，B同时发生(都发生)，记作$A\cap B\ 或\ AB$
4. 差事件
   • A 发生，且 B 不发生，记作A - B
   • B 发生，且 A 不发生，记作B - A
   • 两者结果不一定相同
5. 互斥事件(互斥事件)
   • A，B不能同时发生
   • $A\cap B=\emptyset\ 或\ AB=\emptyset$
   • 口诀：有你没我、有我没你
6. 逆事件(对立事件)
   • A，B有且只有一个发生
   • \[\left\{ \begin{array}{**lr**} A\cap B=\emptyset, & \\ A\cup B=S & \end{array} \right.\]
   • $A\overset{对立事件}{\longleftrightarrow}B$, 即 $\overline{A}=B$
   • $互斥\Rightarrow对立$ $互斥\overset{不一定}{\Leftarrow}对立$
   • 口诀：有你没我、有我没你，你我一起、构成全集(全世界) — a little romantic

\[\left\{ \begin{array}{**lr**} A\cap B=\emptyset, & \\ A\cup B=\omega & \end{array} \right.\]

事件运算律

读法：
$\cup\ -并；\ \cap\ -交；\ \overline{A}\ -A拔$

1. 交换律
   • $A\cup B=B\cup A;\ AB=BA$
2. 结合律
   • 括号里外，开口相同
   • $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
   • $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
3. 分配律
   • 括号里外，开口不同
   • $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\ \cap\ (A\cup C)$
   • $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\ \cup\ (A\cap C)$
4. 德摩根律
   • 短长杠变换，开口变换
   • $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
   • $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$
   • 补充
     • 包含关系，加杠变方向
     • $A\subset B\Leftrightarrow \overline{B}\subset \overline{A}$

3. 频率与概率

频率

1. 定义：事件(A)发生的频数 与 试验总数(n)之间的比值
   • $f_n(A)=\frac{n_A}{n}$
2. 基本性质
   1. $0\leq f_n(A)\leq 1$
   2. $f_n(S)=1$ — 全集的频率, 必然事件
   3. 若$A_1,A_2,…,A_k$为两两互不相容事件，则$f_n(A_1\cup A_2 \cup …\cup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+…+f_n(A_k)$

概率

1. 定义：比较复杂、延后
2. 含义：用于衡量事件A发生的可能性的大小，用 P 来表示
3. 基本性质：
   1. 非负性：$\forall A，P(A)\geq0.$
   2. 规范性：对于必然事件 $S\underset{\nLeftarrow}{\Rightarrow} P(S)=1$
      • *注：必然事件 $\Rightarrow$ 发生概率为 1 ； 发生概率为 1 $\nRightarrow$ 必然事件
   3. 可列可加性：设$A_1,A_2,…$两两互不相容，则必有$P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup…)=P(A_1)+P(A_2)+…$
4. 重要性质
   1. * $P(\emptyset)=0$: 不可能事件$\underset{\nLeftarrow}{\Rightarrow}$概率为0
   2. 有限可加性：设$A_1,A_2,…A_n$两两互不相容，则必有$P(A_1\cup A_2\cup …A_n)=P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n)$
   3. 若 $A\subset B$，则$P(B)\geq P(A)$
   4. $\forall A,\ P(A)\leq1$
   5. $\forall A,\ P(\overline{A})=1-P(A)$
   6. 任两事件，$\forall A,B, 有\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
      • 推广：任三事件，A,B,C
        • $P(A\cup B\cup C)=$
        • $P(A)+P(B)+P(C)$ (1)
        • $-P(AB)-P(AC)-P(BC)$ (2)
        • $+P(ABC)$ (3)
      • 推广：任四事件，A,B,C,D
        • $P(A\cup B\cup C\cup D)=$
        • $P(A)+P(B)+P(C)+P(D)$ (1)
        • $-P(AB)-P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD)$ (2)
        • $+P(ABC)+P(ABD)+P(BCD)+P(ACD)$ (3)
        • $-P(ABCD)$ (4)

思考：

1. 概率和频率的区别是什么？
2. 可列可加性 和 有限可加性 的区别是什么

4. 古典概型（等可能概型）

特点：

1. 有限性 — S包含的样本点(元素)有限个
2. 等可能性 — 样本点(基本事件)发生的可能性相同

计算方法

例：事件A(包含k个基本事件)，S有n个样本点
$P(A)=\frac{k}{n}$

关于实际推断原理

概率很小的事件，在一次试验中，几乎不发生
具体方法：

• 提出一个假设
• 推出一个矛盾的结论(概率几乎为0)
• 反过来否定原先的假设

  类似于反证法