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数列极限

微积分随手记

数列极限

函数

确定函数的两要素:对应法则,定义域
定义1:
$设y=f(x), x\in D$
$\exists M\geq N,$
$\forall x\in D, 都有 N\leq f(x)\leq M$
称f(x) 是 D 的有界函数

数列

  • 数学定义($\forall \epsilon > 0, \exists N, 当n > N时,|a_n -a|<\epsilon$)
  • 几何定义(满足邻域:$U(a,\epsilon)$)
  • 分析法证明(要证.A..只需证.B.., 满足A是B的充分条件即可 )
    • 注意点:
    • $|a_n -a| \Leftrightarrow n>N$
    • $|a_n -a| \Leftarrow n>N$
    • X $|a_n -a| \Rightarrow n>N$

重要极限

  1. $\lim_{n\rightarrow \infty}C=C, C为常数$
  2. $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^k}=0,k>0为常数$
    • 常数比上 自变量 n,极限为0;
  3. $\lim_{n\rightarrow \infty}q^n=0,|q|<1为常数$
    • $\mathring{U}(0,1)$邻域内指数是 自变量 n,极限为0;
  4. $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1,a>0为常数$
    • 大于0的指数是 自变量 n 倒数,极限为1;
  5. $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a^n}{n!}=0,a为常数$
    • 阶乘的增幅远远大于指数的增幅
  6. $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1$
    • $(通过适当放大法,借助二项展开式[(a+b)^n=C^0_na^n+..+C^n_nb^n]证明)$

书外知识

二项式公式

技巧 与 概念理清

不等式

  • 绝对值不等式
  • 均值不等式
    • 算数平均数$\geq$几何平均数
    • 当且仅当 $a_1=a_2=…=a_n$时成立

快速判断大小

  1. 条件:不等式两边均为正数时
    • 两边取倒数,不等式变方向

充分必要条件

A 的充分必要条件是 B
结论 的充分必要条件是 条件

  • 充分条件 — 条件 推 结论
  • 必要条件 — 结论 推 条件
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